Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. Nehmen Sie bitte Platz.

Heute beschäftigen wir uns mit Tensoren und Tensorfeldern.

Die erste Frage ist natürlich, was ist ein Tensor?

Die Beantwortung liegt natürlich in dieser Vorlesung.

Die Tatsache, die für Sie wichtig ist, dass es in der Physik vor Tensoren nur so wimmelt.

Das heißt, Sie können Tensoren überhaupt nicht vermeiden.

Und Sie haben auch schon viele, viele Tensoren in der Physik getroffen, auch wenn Sie es nicht gewusst haben.

Meistens, wenn was ein Tensor genannt wird, ist er gar keiner, sondern nur in speziellen Fällen.

Aber das werden wir alles sehen.

Also die erste Versprechung ist, es wimmelt in der Physik nur so von Tensoren.

Und so ein Tensor ist eine Verallgemeinerung des Begriffs des Vektors.

Auf jeden Fall kann man es so betrachten.

Tensoren sind, und ich schreibe das jetzt in Anführungszeichen, man kann sich über diese Charakterisierung streiten,

aber die ist jetzt auch nur, um Ihnen Appetit zu machen, sind Vektoren höherer Stufe.

Vektoren höherer Stufe, und was es genau technisch heißt, das erkläre ich Ihnen natürlich.

Was das ist und wozu sie gebraucht werden, im Folgenden.

Was das ist und wozu sie gebraucht werden, zeigen wir im Folgenden.

So, und nun ist es natürlich so, dass wir uns nochmal kurz zurück erinnern müssen an die letzte Vorlesung.

Und in der hatten wir ja Vektoren betrachtet, und wir schauen uns jetzt nochmal Vektoren an.

Und in der letzten Vorlesung hatte ich ganz großen Wert darauf gelegt, dass die Vektoren ja schon auf dem Manigfaltigkeitenlevel definiert sind, als Richtungsableitungen.

Sie erinnern sich an das fahrende Auto, sie fahren entlang einer Kurve, und sie sehen, wie sich die Umgebung repräsentiert durch irgendeine beliebige Funktion f da ändert.

Und dann erst hatten wir eine Karte, nachdem der Vektor, der Tangentialvektor definiert war, dann erst hatten wir eine Karte gewählt,

um uns anzuschauen, wie so ein Vektor dann in einer konkreten Karte, mit Bezug auf eine bestimmte Karte, definiert ist.

Und da haben wir diese ganzen schönen Sachen gefunden, dass der Vektor wieder Komponenten hat, und dass das Komponenten einer Basis sind, die in dem Fall von der Karte induziert sind und so weiter.

Haben wir uns schon ein bisschen mehr zu Hause gefühlt.

Und jetzt schauen wir uns nochmal die Vektoren an, und gehen gleich mal auf die Kartenebene.

Also Vektoren aus Kartensicht.

Also die Grunddefinition war gewesen, dass wir, also in der letzten Vorlesung, waren Vektoren auf Manigfaltigkeitenebene,

auf Ebene einer glatten Manigfaltigkeit.

Und Sie erinnern sich, eine glatte Manigfaltigkeit, das war eine Menge, mit einer Topologie ausgestattet, sodass es auf jeden Fall schon mal eine topologische Manigfaltigkeit ist.

Und dann hatten wir hier noch einen Atlas gewählt, der allerdings ein zähunendlich Atlas sein sollte.

Und dann hatten wir die Definition des Tangentialvektors, den hatten wir x unten Gamma genannt.

Warum x unten Gamma? Und auch noch am Punkt P.

Das war nämlich der Tangentialvektor an die Kurve Gamma.

Und so eine Kurve Gamma, gut, die läuft immer von irgendeinem Parameterbereich, sagen wir mal ganz R in der Manigfaltigkeit, an die Kurve Gamma im Punkt P.

Und das muss aber ein Punkt sein, der für einen bestimmten Parameterwert Lambda auch tatsächlich durchlaufen wird.

Also kann ich hier eine Kurve haben, da hinten den Tangentialvektor ausrechnen. Das ist klar.

Und das vielleicht etwas Überraschende trotz dieses Namens war, so ein Tangentialvektor ist zunächst mal per se keine Sammlung von irgendwelchen Zahlen,

sondern ein Tangentialvektor ist mathematisch gesprochen eine Abbildung.

Und diese Abbildung, die heißt eben x unten Gamma P, das ist einfach ihr Name.

Und was tut die? Die nimmt eine glatte Funktion und bildet sie ab auf eine reelle Zahl.

Und macht sie das? Naja, heißt sie diese beliebige Funktion mal f, beliebig aber sie nehmen natürlich dann eine konkrete.

Und dann definieren sie dieses x unten Gamma P dadurch, wie es auf das f wirkt.

Deswegen schreiben sie das f hinten dran. Und wie das wirkt, ist einfach per Definition gleich f nach Gamma.

Also sie haben da die Funktion f, sagen wir mal ein Temperaturfelg, nur zur Anschauung.

Sie fahren da entlang der Kurve durch und dort wo sie entlang fahren, entlang dieser Werte, gucken sie wie sich das ändert.

Und sie werten das dann an der Stelle Lambda aus, denn an der Stelle Lambda kommen sie ja gerade durch den Punkt P.

Und dieses Objekt nennen wir einen Tangentialvektor.

Wer will kann es auch eine Richtungsableitung in Punkt P entlang der Kurve Gamma nennen.